第3章：一次同余方程 · 原始习题解析

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这页只放原始习题、考试写法和解析。复习时建议先看【考试写法】，那是考试卷面上应该呈现的主线；括号解析负责解释"为什么这样判断、为什么这样变形"。

这页按"原题 → 考试写法 → 考场傻瓜版解析"的顺序整理。每道题之间用分割线隔开，复习时不用在答案区和解析区来回跳。

原始练习题扫描

下面是本章对应的原始练习题扫描。建议先把上面的例题看懂，再回到这里按题号练。

逐题解析

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单项选择题 1

原题： 下面一次同余方程中，有解的是哪一个？
A. 12x ≡ 1 (mod 15)
B. 12x ≡ 2 (mod 15)
C. 12x ≡ 3 (mod 15)
D. 12x ≡ 4 (mod 15)

考试写法：

选 C。
判断 12x ≡ b (mod 15) 有没有解，第一步算 d = gcd(12, 15) = 3。必须满足 3 能整除 b 才有解。
A 的 1、B 的 2、D 的 4 都不能被 3 整除；只有 C 的 3 可以。

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答案：C。

考场看到"有没有解"，直接默念口诀：算最大公因数 d，看 d 能不能整除右边。

1. a = 12, m = 15，算最大公因数 d = gcd(12, 15) = 3。

2. 挨个看右边的数字（b），谁能被 3 整除，谁就有解。

A：1 ÷ 3 除不尽，死刑。

B：2 ÷ 3 除不尽，死刑。

C：3 ÷ 3 = 1，完美整除，有解！

D：4 ÷ 3 除不尽，死刑。

直接选 C，耗时 5 秒钟。

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单项选择题 2

原题： 下面一次同余方程中，无解的是哪一个？
A. 22x ≡ 55 (mod 77)
B. 33x ≡ 55 (mod 77)
C. 55x ≡ 44 (mod 66)
D. 66x ≡ 22 (mod 99)

考试写法：

选 D。
A：d = gcd(22, 77) = 11，11 能整除 55，有解。
B：d = gcd(33, 77) = 11，11 能整除 55，有解。
C：d = gcd(55, 66) = 11，11 能整除 44，有解。
D：d = gcd(66, 99) = 33，但 33 不能整除 22，无解。

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答案：D。

继续用"算 d，看右边"的套路，专门找除不尽的那个。

A 选项：左边提取公因数，d = 11。右边是 55，11 能整除 55，有解。

B 选项：左边提取公因数，d = 11。右边是 55，11 能整除 55，有解。

C 选项：左边提取公因数，d = 11。右边是 44，11 能整除 44，有解。

D 选项：左边 66 和 99 的最大公因数 d = 33。右边是 22。**33 能整除 22 吗？不能！**所以它无解。选 D。

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单项选择题 3

原题： 下面一次同余方程中，有解的是哪一个？
A. 12x ≡ 22 (mod 32)
B. 22x ≡ 32 (mod 42)
C. 32x ≡ 42 (mod 52)
D. 52x ≡ 62 (mod 72)

考试写法：

选 B。
A：gcd(12, 32) = 4，4 不整除 22，无解。
B：gcd(22, 42) = 2，2 能整除 32，有解。
C：gcd(32, 52) = 4，4 不整除 42，无解。
D：gcd(52, 72) = 4，4 不整除 62，无解。

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答案：B。

这题考的还是同一个知识点，只不过数字换了，只要基本功还在就能秒杀。

A：d=4，右边 22 除以 4 除不尽。

B：d=2，右边 32 是偶数，2 肯定能整除 32。有解！

C：d=4，右边 42 除以 4 余 2，除不尽。

D：d=4，右边 62 除以 4 余 2，除不尽。

就 B 活着，选 B。

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单项选择题 4

原题： 哪个同余方程组不能直接用孙子定理？
A. x ≡ 5 (mod 13), x ≡ 7 (mod 23)
B. x ≡ 3 (mod 17), x ≡ 5 (mod 27)
C. x ≡ 5 (mod 15), x ≡ 20 (mod 25)
D. x ≡ 5 (mod 11), x ≡ 9 (mod 21)

考试写法：

选 C。
中国剩余定理（孙子定理）直接使用的前提是：所有模数必须两两互素。
C 选项中的模数是 15 和 25，它们有最大公因数 5，不互素，所以不能直接用。

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答案：C。

孙子定理（也就是中国剩余定理 CRT）有一个极其严格的门槛：底座（模数）必须互素！互素！互素！

看各选项的模数：

A：13 和 23。俩都是素数，肯定互素，能用。

B：17 和 27。17 是素数，跟 27 没公共因子，能用。

C：15 和 25。这俩一看就都能被 5 整除啊！ 它们不互素，直接被孙子定理拒之门外。

D：11 和 21。互素，能用。

所以选 C。

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单项选择题 5

原题： 设 b_i, m_i 是正整数，对于同余方程组 x ≡ b_i (mod m_i), i=1,2,3，下面说法正确的是哪一个？
A. 若 m_1, m_2, m_3 两两互素，则同余方程组有唯一解。
B. 若 b_1, b_2, b_3 两两互素，则同余方程组一定有解。
C. 若 gcd(b_i, m_i) = 1，则同余方程组一定有解。
D. 如果同余方程组无解，则 b_1, b_2, b_3 不是两两互素的整数。

考试写法：

选 A。
这是中国剩余定理的标准定义：模数 m_i 两两互素时，方程组在模 (m_1 × m_2 × m_3) 意义下一定有唯一解。能不能解只看模数（m），跟右边的余数（b）之间互不互素没半毛钱关系。

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答案：A。

CRT 定理的核心永远是盯紧 m（模数）。

A 选项说模数两两互素，就有唯一解，这是书上原话，完美正确。

B 选项说右边的 b 互素就有解。大错特错，余数互不互素完全不影响大局。

C 选项说 b 和 m 互素就有解。错，方程组冲不冲突取决于模数 m 之间的关系。

D 选项更是瞎扯逻辑。

牢记：CRT 只查底座 m 的户口。

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综合题 1

原题： 求 40 模 31 的乘法逆元

考试写法：

40 模 31 的乘法逆元是 7。
第一步大数化小：40 ≡ 9 (mod 31)。问题转化为求 9x ≡ 1 (mod 31)。
用扩展欧几里得计算：
31 = 9 × 3 + 4
9 = 4 × 2 + 1
反代得 1 = 9 - 4×2 = 9 - (31 - 9×3)×2 = 9×7 - 31×2。
所以 9×7 ≡ 1 (mod 31)，即逆元为 7。

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答案：7。

遇到比模数大的数，第一反应永远是求余数变小！

40 除以 31 余 9，所以 40 的逆元就是 9 的逆元。

现在我们求 9 的逆元，召唤神奇表格法：

大数 31 在上，小数 9 在下。

行号	商 q	余数 r	x	y (逆元)	怎么算的 (考场不写)
-1	无	31	1	0	写死
0	无	9	0	1	写死
1	3	4	1	-3	31/9 商3余4。y: 0 - 3×1 = -3
2	2	1	-2	7	9/4 商2余1。y: 1 - 2×(-3) = 7

余数算到 1 停。看 y 的最后一行是 7。

逆元就是 7。

验算：9 × 7 = 63，63 = 31 × 2 + 1，正确！

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综合题 2

原题： 解 91x ≡ 35 (mod 133)

考试写法：

解为：x ≡ 15, 34, 53, 72, 91, 110, 129 (mod 133)。

1. 算 d = gcd(91, 133) = 7。因为 7 能整除 35，有解，且一共 7 个解。
2. 同除以 7：13x ≡ 5 (mod 19)。
3. 求 13 模 19 的逆元。13×3 = 39 = 19×2 + 1，所以逆元是 3。
4. 两边乘 3，得到特解 x ≡ 5×3 = 15 (mod 19)。
5. 扩展 7 个解：15 每次加上新模数 19，得到 15, 34, 53, 72, 91, 110, 129。

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这就是标准的"4 步法"大题。

第一步：查有解并瘦身。

算 91 和 133 的最大公约数是 7。7 能整除 35，所以有解（记下 d=7，后面要扩充 7 个解）。

三处同时除以 7，方程变成小清新：13x ≡ 5 (mod 19)。千万别忘了模数 133 也要除以 7 变成 19！

第二步：求逆元。

13 模 19 的逆元是多少？口算一下 13 的几倍比 19 的几倍多 1？13×3 = 39，刚好是 19×2 + 1。所以逆元是 3。

第三步：得特解。

两边同乘 3，左边变成 x，右边变成 5×3 = 15。

所以特解是 x ≡ 15 (mod 19)。

第四步：一生 d，扩充补齐。

题目原始模数是 133，d 是 7。你要列出 7 个解。

怎么列？拿 15 作为起点，每次加上新模数 19 即可：

15

15+19=34

34+19=53

53+19=72

72+19=91

91+19=110

110+19=129

搞定。

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综合题 3

原题： 解 91x ≡ 35 (mod 161)

考试写法：

解为：x ≡ 11, 34, 57, 80, 103, 126, 149 (mod 161)。

1. d = gcd(91, 161) = 7，7 整除 35，有 7 个解。
2. 同除以 7，得 13x ≡ 5 (mod 23)。
3. 求 13 模 23 的逆元，计算得逆元为 16（因为 13×16 = 208 = 23×9 + 1）。
4. 两边乘 16：x ≡ 5×16 = 80 ≡ 11 (mod 23)。
5. 扩展回模 161，每次加 23：x ≡ 11, 34, 57, 80, 103, 126, 149。

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一样的配方，熟悉的味道。

第一步大瘦身：91 和 161 都能除以 7。除了之后变成 13x ≡ 5 (mod 23)。注意原来有 7 个解。

第二步算 13 的逆元：画神奇表格算出来是 16。

第三步得特解：两边乘 16，右边 5×16=80。80 模 23 余 11。所以特解 x ≡ 11 (mod 23)。

第四步大扩充：以 11 为起点，每次加 23，写够 7 个数。

11，11+23=34，34+23=57，...，一直加到 149 停笔。满分到手。

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综合题 4

原题： 解 12 × 7¹⁶⁸x ≡ 9 (mod 27)

考试写法：

解为：x ≡ 3, 12, 21 (mod 27)。
这题的核心是先处理大指数 7¹⁶⁸ mod 27。

1. 算 φ(27) = 27 × (1 - 1/3) = 18。由欧拉定理，7¹⁸ ≡ 1 (mod 27)。
2. 168 = 18 × 9 + 6，所以 7¹⁶⁸ ≡ 7⁶ (mod 27)。计算得 7⁶ ≡ 10 (mod 27)。
3. 代回原式：12 × 10x ≡ 9 (mod 27)，即 120x ≡ 9 (mod 27)。取余变成 12x ≡ 9 (mod 27)。
4. 解方程：d=3，同除以 3 得 4x ≡ 3 (mod 9)。4 的逆元是 7，特解 x ≡ 3×7 = 21 ≡ 3 (mod 9)。扩充 3 个解：3, 12, 21。

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题目想拿大指数吓唬你，咱们先用降维打击把系数打掉。

计算 7¹⁶⁸ 模 27：

找 27 的欧拉函数：φ(27) = 27 ÷ 3 × 2 = 18。

意味着只要指数是 18，结果就是 1。

168 除以 18 商 9 余 6。所以一万个 18 都变成 1 飞走了，只剩下 7⁶。

算 7⁶ 模 27：7²=49≡22。7³=22×7=154≡19。7⁶ = 19² = 361。361 除以 27 余 10。

所以那个吓人的 7¹⁶⁸ 其实就是 10！

把 10 代回方程：12 × 10x = 120x。120 模 27 余 12。

方程终于露出了本来面目：12x ≡ 9 (mod 27)。

这不就变回傻瓜题了吗？

除以 3：4x ≡ 3 (mod 9)。

4 模 9 逆元是 7（4×7=28≡1）。

乘 7：x ≡ 21 ≡ 3 (mod 9)。

扩充 3 个解（因为之前除以了 3）：3，3+9=12，12+9=21。搞定！

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综合题 5

原题： 解方程组 x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 5 (mod 11), x ≡ 3 (mod 17)

考试写法：

方程组解：x ≡ 632 (mod 935)。
用逐步代入法求解：

1. 从式一得 x = 2 + 5t。
2. 代入式二：2 + 5t ≡ 5 (mod 11) -> 5t ≡ 3 (mod 11)。5 的逆元是 9，t ≡ 3×9 ≡ 5 (mod 11)。故 t = 5 + 11k，回代得 x = 27 + 55k。
3. 代入式三：27 + 55k ≡ 3 (mod 17)。化简得 10 + 4k ≡ 3 -> 4k ≡ -7 ≡ 10 (mod 17)。4 的逆元是 13，k ≡ 10×13 ≡ 11 (mod 17)。
4. 回代得 x = 27 + 55×11 = 632。总模数为 5×11×17 = 935。

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别背书上那个又臭又长的 CRT 求和公式，用**"滚雪球"代入法**绝不翻车。

第一片雪花：x ≡ 2 (mod 5)，可以直接写成 x = 2 + 5t。

把它塞进第二个方程：2 + 5t ≡ 5 (mod 11)。

移项：5t ≡ 3 (mod 11)。求 5 模 11 的逆元是 9，两边乘 9 得到 t ≡ 5 (mod 11)，即 t = 5 + 11k。

雪球滚大，代回 x：x = 2 + 5(5 + 11k) = 27 + 55k。

（前两个方程合并成功，变成 x ≡ 27 (mod 55)）。

继续把这个新 x 塞进第三个方程：27 + 55k ≡ 3 (mod 17)。

太大了，先化简。27 模 17 余 10，55 模 17 余 4。

变成 10 + 4k ≡ 3 (mod 17)。

移项 4k ≡ -7 ≡ 10 (mod 17)。

求 4 模 17 的逆元是 13，两边乘 13 得 k ≡ 130 ≡ 11 (mod 17)。

所以 k = 11。代回 x，得到 x = 27 + 55×11 = 632。

大功告成！

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综合题 6

原题： 解方程组 5x ≡ 3 (mod 17), 4x ≡ 6 (mod 11)

考试写法：

方程组解：x ≡ 106 (mod 187)。
这题必须先解各个小方程预处理：

1. 5x ≡ 3 (mod 17)：5 的逆元是 7，所以 x ≡ 3×7 ≡ 4 (mod 17)。
2. 4x ≡ 6 (mod 11)：4 的逆元是 3，所以 x ≡ 6×3 ≡ 7 (mod 11)。 现在解标准的 CRT 方程组：x ≡ 4 (mod 17), x ≡ 7 (mod 11)。 设 x = 4 + 17t 代入第二式：4 + 17t ≡ 7 (mod 11) -> 17t ≡ 3 -> 6t ≡ 3 (mod 11)。 6 的逆元是 2，所以 t ≡ 6 (mod 11)。 回代得 x = 4 + 17×6 = 106。总模数 187。

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遇到前面带系数的方程组，千万别直接代入，先"杀系数"！

第一个方程：5x ≡ 3 (mod 17)。求 5 的逆元是 7（因为 5×7=35=17×2+1）。两边乘 7 得 x ≡ 4 (mod 17)。

第二个方程：4x ≡ 6 (mod 11)。求 4 的逆元是 3。两边乘 3 得 x ≡ 7 (mod 11)。

好，现在洗白成了纯净版方程组。用刚才的滚雪球法走一遍：

x = 4 + 17t，代入第二个方程：4 + 17t ≡ 7 (mod 11)。

17 模 11 余 6。所以 6t ≡ 3 (mod 11)。

6 模 11 的逆元是 2，所以 t ≡ 3×2 = 6。

x = 4 + 17×6 = 106。完事。

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综合题 7

原题： 解二元同余方程组：3x + y ≡ 7 (mod 23)，x + 2y ≡ 6 (mod 23)。

考试写法：

二元同余方程组解：x ≡ 20, y ≡ 16 (mod 23)。
使用代入消元法：

1. 从式一提取 y：y ≡ 7 - 3x (mod 23)。
2. 代入式二：x + 2(7 - 3x) ≡ 6 (mod 23) -> x + 14 - 6x ≡ 6 -> -5x ≡ -8 -> 5x ≡ 8 (mod 23)。
3. 求 5 模 23 的逆元。5×14 = 70 = 23×3+1，逆元是 14。
4. 两边乘 14：x ≡ 8×14 = 112 ≡ 20 (mod 23)。
5. 回代求 y：y ≡ 7 - 3×20 = -53 ≡ 16 (mod 23)。

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初中数学的消元法，搬到模的世界里一模一样。

第一式把 y 留一边：y = 7 - 3x。

塞进第二式：x + 2(7 - 3x) = 6。

拆括号：x + 14 - 6x = 6。

也就是 -5x + 14 = 6，移项得 -5x = -8。

把负号都拿掉，变成 5x ≡ 8 (mod 23)。

求 5 的逆元（口算 5 的几倍比 23 的倍数多 1？5×14=70=69+1，逆元是 14）。

乘 14 解出 x = 112，112 模 23 余 20。所以 x = 20。

代回去算 y：7 - 3×20 = -53。-53 加上三个 23 变成正数 16。

x = 20, y = 16，搞定。