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第6章：近世代数基础 · 原始习题解析
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这页只放原始习题、考试写法和解析。复习时建议先看【考试写法】，那是考试卷面上应该呈现的主线；括号解析负责解释"为什么这样判断、为什么这样变形"。
这页按"原题 → 考试写法 → 考场傻瓜版解析"的顺序整理。每道题之间用分割线隔开，复习时不用在答案区和解析区来回跳。
原始练习题扫描
下面是本章对应的原始练习题扫描。建议先把上面的例题看懂，再回到这里按题号练。
逐题解析
题目 1
原题： 描述群的定义
考试写法：
群的定义：
设 G 是一个非空集合，配备一种二元运算。若满足以下四条公理，则称为群：
- 封闭性：任意 a, b 属于 G，运算结果 a*b 也属于 G。
- 结合律：(ab)c = a(bc)。
- 存在单位元：存在 e，使得任意 a，均有 ae = ea = a。
- 存在逆元：任意 a，存在 a⁻¹，使得 aa⁻¹ = a⁻¹a = e。
考场傻瓜版解析（默认隐藏，展开看为什么）
纯背书题。记不住书面语就记住四字真言："封、结、幺、逆"。
封闭（不出界）、结合（顺序随便放）、幺元（加法的0，乘法的1，不起作用的那个）、逆元（死对头，俩人一撞就归零）。
大白话写出来也能得分。
题目 2
原题： 描述域的定义
考试写法：
域的定义：
域是一个配备了加法和乘法两种运算的集合，满足：
- 在加法运算下，构成一个交换群（有单位元 0）。
- 去掉 0 之后，全体非零元素在乘法运算下构成一个交换群（有单位元 1，且非零元素皆有逆元）。
- 乘法对加法满足分配律：a(b+c) = ab + ac。
考场傻瓜版解析（默认隐藏，展开看为什么）
域就是最顶级的数学世界。
你就记住："域 = 可以随心所欲加减乘除的世界"。
跟环比起来，域最牛的一点就是所有不是 0 的数，都有乘法逆元（可以完美做除法）。密码学离不开域，因为需要逆元去解密。
题目 3
原题： 判断 F₂[x] 中 x⁶+x+1 是否为不可约多项式
考试写法：
x⁶+x+1 在 F₂[x] 中不可约。
- f(0) = 1 ≠ 0，f(1) = 3 ≡ 1 ≠ 0，没有一次因子。
- 尝试用二次不可约多项式 x²+x+1 去除，除不尽，无二次因子。
- 尝试用三次不可约多项式 x³+x+1 和 x³+x²+1 去除，均有余数，除不尽。
因无不超过 3 次的不可约因子，故本身不可约。
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掏出"不可约秒杀流水线"：
有没有 +1 常数项？有。（说明没 x 因子，没死）
多少项？3 项（奇数个）。（说明没 x+1 因子，没死）
前两步秒杀了一次因子。接着因为它高达 6 次，必须硬算长除法。
用唯一的二次素多项式 x²+x+1 去除，除不尽。
用那俩三次素多项式去除，也除不尽。
拆不了，所以不可约！
题目 4
原题： 判断 F₂[x] 中 x⁵+x²+1 是否为不可约多项式
考试写法：
x⁵+x²+1 在 F₂[x] 中不可约。
- 没有常数 0 根（f(0)=1），代入 1 得 1+1+1 ≡ 1，所以无一次因子。
- 用唯一的二次不可约因子 x²+x+1 做多项式除法，除不尽。
由于一个 5 次多项式如果可约，必有一个 1 次或 2 次的因子。两者都没有，故不可约。
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还是流水线判定：
有 +1 常数项，共 3 项（奇数）。所以一次因子绝对没有。
由于它是 5 次，如果能拆，必定是一个 2次 和一个 3次的组合（不可能都是 3 次以上）。
所以只要拿唯一的二次素多项式 x²+x+1 去试着除它就行了。
草稿纸上除一下，发现有余数除不尽。
既然连 2 次的都切不开，那就肯定不可约了！
题目 5
原题： 判断 F₂[x] 中 x⁸+x⁴+x³+x+1 是否为不可约多项式
考试写法：
x⁸+x⁴+x³+x+1 在 F₂[x] 中不可约。
此题次数较高，需逐一检验是否存在低次（1至4次）的不可约因子。
- 代 0 和 1 均不为 0，无一次因子。
- 不能被 x²+x+1 整除，无二次因子。
- 不能被 x³+x+1 和 x³+x²+1 整除，无三次因子。
- 不能被三个四次不可约多项式整除。
因此不可约。
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这题要是出现在考试里，就是拼手算速度的。
首先数项数：一共 5 项，奇数，且有 +1 结尾。没有一次因子。
然后挨个长除法排雷，发现用啥都除不尽。最后写上一句不可约。
这题记住结论就行，AES 的模多项式就是这个，它绝对不可约。
题目 6
原题： 已知 x⁴+x+1 是 F₂[x] 中的不可约多项式，F₂[x]/(x⁴+x+1) 的余式构成有限域 GF(2⁴)。回答：
（1）写出这个有限域中的加法恒等元和乘法恒等元；
（2）在 GF(2⁴) 上计算 (x²+1)(x³+1)；
（3）在 GF(2⁴) 上计算 (x²)⁻¹ (mod x⁴+x+1)。
考试写法：
（1）加法恒等元为 0，乘法恒等元为 1。
（2）(x²+1)(x³+1) = x⁵ + x³ + x² + 1。
根据模多项式得 x⁴ = x + 1，推导 x⁵ = x² + x。
代入化简：(x² + x) + x³ + x² + 1 = x³ + x + 1。 （x² 相互抵消）
（3）使用扩展欧几里得倒推求 (x²)⁻¹：
计算可得逆元为 x³ + x² + 1。
验证：x²(x³+x²+1) = x⁵ + x⁴ + x² = (x²+x) + (x+1) + x² = 1。正确。
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第（1）问纯送分，宇宙通用的恒等元就是 0 和 1。
第（2）问是自带降压药的乘法：
提前写好"降维表"：x⁴ = x+1, x⁵ = x²+x。
乘开以后出来个 x⁵，查表替换成 x²+x。式子里有了两个 x²，根据"1+1=0"的终极法则，相同项直接划掉！最后剩下 x³+x+1。
第（3）问神奇表格法求逆：
大项 x⁴+x+1 在第一行，小项 x² 在第二行。
用多项式做除法，商乘以上一行再加到当前的 y 里（连减号都没有，纯用加法），分分钟算出 x³+x²+1。不会有任何因为正负号导致的翻车！
题目 7
原题： 已知 g(x)=x⁴+x+1 是 F₂[x] 中的不可约多项式，求 f(x)，使得 f(x)×x³ ≡ 1 (mod g(x))。
考试写法：
f(x) = x³ + x² + x + 1。
题目即求解 x³ 在模 x⁴+x+1 下的乘法逆元。
利用多项式扩展欧几里得求逆元，或者解带系数恒等式，计算可得逆元为 x³+x²+x+1。
验算：x³ × (x³+x²+x+1) = x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³。
降次：x⁴ = x+1, x⁵ = x²+x, x⁶ = x³+x²。
代入：(x³+x²) + (x²+x) + (x+1) + x³ = 1。（所有 x³, x², x 两两抵消）。验算通过。
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这道题用人话说就是："大哥，求个 x³ 的逆元呗"。
用考场神技——多项式表格法！
第一行：x⁴+x+1，y=0。
第二行：x³，y=1。
第三行：x⁴+x+1 除以 x³ 商 x 余 x+1。计算 y = 0 + x(1) = x。
第四行：x³ 除以 x+1 商 x²+x+1 余 1。计算 y = 1 + (x²+x+1)(x) = x³+x²+x+1。
算到余数为 1，直接拿走最后这个 y 当答案。爽不爽？