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第4章：二次同余 · 原始习题解析
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这页只放原始习题、考试写法和解析。复习时建议先看【考试写法】，那是考试卷面上应该呈现的主线；括号解析负责解释"为什么这样判断、为什么这样变形"。
这页按"原题 → 考试写法 → 考场傻瓜版解析"的顺序整理。每道题之间用分割线隔开，复习时不用在答案区和解析区来回跳。
原始练习题扫描
下面是本章对应的原始练习题扫描。建议先把上面的例题看懂，再回到这里按题号练。
逐题解析
单项选择题 1
原题： 设 p 是奇素数，gcd(a_1,p)=1, gcd(a_2,p)=1，下列说法中不正确的是哪一个？
A. 如果 a_1, a_2 都是模 p 的平方剩余，则 a_1×a_2 是模 p 的平方剩余。
B. 如果 a_1, a_2 都是模 p 的平方非剩余，则 a_1×a_2 是模 p 的平方剩余。
C. 如果 a_1 是模 p 的平方剩余，a_2 是模 p 的平方非剩余，则 a_1×a_2 是模 p 的平方剩余。
D. 如果 a_1 是模 p 的平方剩余，a_2 是模 p 的平方非剩余，则 a_1×a_2 是模 p 的平方非剩余。
考试写法：
选 C。
根据勒让德符号乘法性质：(ab/p) = (a/p) × (b/p)。
平方剩余对应 1，平方非剩余对应 -1。C 说 1 × (-1) = 1，显然是错的。
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答案：C。
"平方剩余"就是算出来的勒让德符号是 1。 "平方非剩余"就是算出来的勒让德符号是 -1。
题目问你这两个相乘会发生什么。
A：1 × 1 = 1（正确）
B：(-1) × (-1) = 1（正确）
C：1 × (-1) = 1（错得离谱，一正一负怎么可能得正？）
D：1 × (-1) = -1（正确）
题目让找不正确的，秒选 C。
单项选择题 2
原题： 设 p,q 是素数，整数 a,b,p,q 两两互素。若 a 既是模 p 的平方剩余又是模 q 的平方剩余，b 既不是模 p 的平方剩余又不是模 q 的平方剩余，则下列说法中不正确的是哪一个？
A. a 不是模 pq 的平方剩余。
B. b 不是模 pq 的平方剩余。
C. ab 不是模 p 的平方剩余。
D. ab 不是模 q 的平方剩余。
考试写法：
选 A。
要成为合数模 pq 的平方剩余，充要条件是拆开后同时是模 p 和模 q 的平方剩余。a 满足这个条件，所以 a 是模 pq 的平方剩余。A 选项说 a 不是，所以 A 不正确。
考场傻瓜版解析（默认隐藏，展开看为什么）
答案：A。
回忆正文里的"雅可比大坑"：合数模必须拆成素数分别看，大家都同意才行。
题目说：a 在模 p 同意了，在模 q 也同意了。那 a 在模 pq 下肯定是同意（有解/平方剩余）的！
结果 A 选项跳出来说 a 在模 pq 不是平方剩余，直接打它脸，选 A。
（注：b 在两边都不同意，所以 b 肯定没戏。ab 在一边是 1 一边是 -1 乘积是 -1，也没戏。）
单项选择题 3
原题： 设 p,q 是奇素数，gcd(ab, pq)=1，对于二次同余方程 x² ≡ ab (mod pq) 的解的判断，下列说法中正确的是哪一个？
A. 只有 x² ≡ a (mod pq) 和 x² ≡ b (mod pq) 同时有解，原方程才有解。
B. 只有 x² ≡ ab (mod p) 和 x² ≡ ab (mod q) 同时有解，原方程才有解。
C. 只要 x² ≡ a (mod pq) 和 x² ≡ b (mod pq) 中有一个无解，原方程就无解。
D. 只有 x² ≡ ab (mod p) 和 x² ≡ ab (mod q) 同时无解，原方程才无解。
考试写法：
选 B。
因为 pq 是合数，二次同余方程 x² ≡ ab (mod pq) 有解的充要条件是将其分解为素因子模数：即 x² ≡ ab (mod p) 和 x² ≡ ab (mod q) 必须同时有解。这正是 B 选项的描述。
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答案：B。
合数模的必考核心：拆底座！必须拆底座！
遇到 mod pq 的二次方程，唯一的正规流程就是把它拆成 mod p 算一遍，再 mod q 算一遍。而且必须两个都"有解"，最终才有解。
A 选项瞎拆右边的数字，死刑。
B 选项正确拆了底座，并要求同时有解，完美。
C 选项瞎拆右边数字。
D 选项说"同时无解才无解"，错，只要有一个无解，原方程就判死刑。
所以选 B。
综合题 1
原题： 计算勒让德符号 (151 / 373)
考试写法：
(151 / 373) = -1。
计算过程（利用勒让德符号和二次互反律三板斧）：
151 ≡ 3 (mod 4), 373 ≡ 1 (mod 4)，翻转不变号：(151 / 373) = (373 / 151)。
373 mod 151 = 71，得 (71 / 151)。
71 ≡ 3 (mod 4), 151 ≡ 3 (mod 4)，"双双三翻脸"变号：(71 / 151) = - (151 / 71)。
151 mod 71 = 9，得 - (9 / 71)。
9 是平方数 3²，勒让德符号为 1。
最终结果为 -1。
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答案：-1。
考场祭出"勒让德无脑三板斧"：
第一斧（互反翻转）：上下都是素数，用二次互反律。151 余 3，373 余 1，不是双双三，直接翻。变成 (373 / 151)。
第二斧（上大化小）：上面的大，求余数。373 ÷ 151 = 2 余 71。变成 (71 / 151)。
第三斧（互反翻转）：71 余 3，151 余 3。**双双三，翻脸加负号！**变成 -(151 / 71)。
第四斧（上大化小）：151 ÷ 71 = 2 余 9。变成 -(9 / 71)。
完结撒花：9 是完全平方数，平方数的符号永远是 1。结果加上前面的负号就是 -1。
综合题 2
原题： 判断 11x² ≡ -3 (mod 91) 是否有解
考试写法：
方程 11x² ≡ -3 (mod 91) 无解。
- 先消去系数 11。求 11 模 91 的逆元是 58。两边乘 58 得 x² ≡ -174 ≡ 8 (mod 91)。
- 模数 91 为合数，分解为 7 × 13。需要 x² ≡ 8 在 mod 7 和 mod 13 下同时有解。
- 在 mod 13 下，计算勒让德符号 (8/13) = (2/13)³。由于 13 ≡ 5 (mod 8)，(2/13) = -1。故 (8/13) = (-1)³ = -1。
- 模 13 下无解，因此原方程无解。
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答案：无解。
第一步杀系数：算出 11 的逆元 58。两边乘 58 得到 x² ≡ -174 (mod 91)。加上两个 91 变成正数：x² ≡ 8 (mod 91)。
第二步遇合数拆底座：91 拆成 7 和 13。也就是说要同时满足 x² ≡ 8 (mod 7) 和 x² ≡ 8 (mod 13)。
第三步各个击破：
看 mod 13 的。要算 (8 / 13)。
8 = 2³。拆成 (2/13)³。
口诀"一七得正，三五成负"。13 除以 8 余 5，所以 (2/13) = -1。
-1 的三次方还是 -1。
结论：模 13 的子方程无解。一票否决，原方程无解。
综合题 3
原题： 判断 x² ≡ 111 (mod 71) 是否有解
考试写法：
方程 x² ≡ 111 (mod 71) 有解。
- 化简右侧：111 ≡ 40 (mod 71)。计算 (40 / 71)。
- 分解 40：(40 / 71) = (2³/71) × (5/71) = (2/71)³ × (5/71)。
- 因为 71 ≡ 7 (mod 8)，所以 (2/71) = 1。
- 因为 5 ≡ 1 (mod 4)，翻转不变号：(5/71) = (71/5) = (1/5) = 1。
- 总计：1³ × 1 = 1。勒让德符号为 1，故有解。
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答案：有解。
上大化小：111 比 71 大，求余数变成 40。求 (40 / 71)。
合数拆开：40 = 8 × 5 = 2³ × 5。所以拆成 (2/71)³ 乘以 (5/71)。
公式计算：
(2/71) 看 mod 8，71 除以 8 余 7。一七得正，结果是 1。
(5/71) 用互反律翻转，5 除 4 余 1，非双双三，直接翻成 (71/5)。71 除以 5 余 1，变成 (1/5)，结果是 1。
拼起来：1 × 1 = 1。算出 1 就是有解。
综合题 4
原题： 判断 x² ≡ 360 (mod 2011) 解的情况
考试写法：
方程 x² ≡ 360 (mod 2011) 无解。
2011 是素数，直接求勒让德符号 (360 / 2011)。
- 分解 360 = 36 × 10 = 6² × 10。所以 (360 / 2011) = (10 / 2011) = (2/2011) × (5/2011)。
- 2011 ≡ 3 (mod 8)，故 (2/2011) = -1。
- 5 ≡ 1 (mod 4)，翻转：(5/2011) = (2011/5) = (1/5) = 1。
- 合并：-1 × 1 = -1。无解。
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答案：无解。
数字看着吓人，其实直接套三板斧拆解。
360 里面有平方数 36，可以直接扔掉（平方数不影响正负），只剩下求 (10 / 2011)。
10 拆成 2 × 5，就是算 (2/2011) 乘以 (5/2011)。
算 (2/2011)：2011 除以 8 余 3，口诀"三五成负"，结果是 -1。
算 (5/2011)：5 除以 4 余 1，直接翻转成 (2011/5)，求余变成 (1/5)，结果是 1。
相乘：-1 × 1 = -1。算出负 1，死刑无解。
综合题 5
原题： 判断 x² ≡ 99 (mod 323) 是否有解
考试写法：
方程 x² ≡ 99 (mod 323) 无解。
- 模数 323 = 17 × 19，合数。拆分成 x² ≡ 99 (mod 17) 和 x² ≡ 99 (mod 19)。
- 考察 mod 17：99 ≡ 14 (mod 17)。计算 (14/17) = (2/17) × (7/17)。
- 17 ≡ 1 (mod 8)，故 (2/17) = 1。
- (7/17) = (17/7) = (3/7) = - (7/3) = - (1/3) = -1。
- 模 17 下符号为 -1，已无解，原方程必无解。
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答案：无解。
再强调一次：看到下面是合数 323，绝对不能直接用互反律翻转！那是找死。
第一步：把 323 拆成 17 和 19，分头击破。
我们先打 17 这个副本：求 (99 / 17)。
上大化小：99 ÷ 17 余 14，变 (14 / 17)。
合数拆开：14 拆成 2 × 7。
(2 / 17) 是 1 （17 除 8 余 1）。
(7 / 17) 不是双双三，翻转成 (17 / 7)，取余成 (3 / 7)；继续双双三翻脸，变 -(7 / 3)，取余变 -(1 / 3)，结果是 -1。
乘起来是 -1。第一个副本就打输了，后面不用看了，原方程彻底无解。
综合题 6
原题： 学习二次互反律的证明方法
考试写法：
（本题为理论学习题，无唯一计算答案）
在考卷上若遇到简答题，核心要点如下：
- 二次互反律用于处理两个奇素数 p 和 q 的勒让德符号互换问题，即联系 (p/q) 和 (q/p)。
- 结论：当 p 和 q 都模 4 余 3 时，(p/q) = - (q/p)；其他情况均有 (p/q) = (q/p)。
- 经典证明基于"高斯引理"，通过数平面上 p 和 q 构成的矩形区域内整数格点的奇偶性，来推导出正负号翻转的规律。
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这道题其实是让大家复习定理是怎么来的，考试如果真要考，最多是填空或者选择。
你只需要记住两点：
第一，互换条件是"双双三翻脸"，也就是两边都是 3 mod 4 才加负号。
第二，这个神仙定理是数学大神"高斯"证明出来的，用了个叫"高斯引理"的数格子的方法。知道这两个名词，吹牛或者应付填空题就足够了。